Question

（本小題滿分8分）

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，點D、E在BC邊上（均不與點B、C重合，點D始終在點E左側），且∠DAE＝45°．

1.（1）請在圖①中找出兩對相似但不全等的三角形，寫在橫線上       ，       ；

2.（2）設BE＝m，CD＝n，求m與n的函數關系式，并寫出自變量n的取值范圍；

3.（3）如圖②，當BE＝CD時，求DE的長；

4.（4）求證：無論BE與CD是否相等，都有DE²=BD²+CE².

 

Answer 1

 

1.解：（1）△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA，△BAE∽△CDA；（寫出任意兩對即可）

2.（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，

由（1）知 △BAE∽△CDA，

∴.

∴. ∴ （）

3.（3）由（2）只BE·CD＝4，

∴BE＝CD＝2.

∴BD＝BC－CD＝.

∴DE＝BE－BD＝

4.（4）如圖，依題意，可以將△AEC繞點A順時針旋轉90°至△AFB的位置，

則FB＝CE，AF＝AE，∠1＝∠2，

∴∠FBD＝90°.

∴. ……………6分

∵∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝45°，

∴∠FAD＝∠DAE.

又∵AD＝AD，AF＝AE，

∴△AFD≌△AED.

∴DE＝DF. ………………………………………………………………………7分

∴

解析:略