Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，BC=5，sinB=

1

2

，點D在OC的延長線上，OD⊥AB，∠CAD=30°，則AD=

 

；如果點M在⊙O內運動，則點M運動到△ABC內部的概率是

 

（不計△ABC，⊙O的邊界）．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理及∠CAD=30°，利用解直角三角形的知識求出AD的長；
（2）求出⊙O的面積為25π，△ABC的面積為

1

2

AB•EC=

25 3

4

，計算比值即可．

解答：解：（1）設AB與OD交于點E．
根據垂徑定理可知：C是

AB

的中點，有AC=BC．
Rt△BEC中：sinB=

1

2

，∠B=30°，BE=

5 3

2

，
Rt△AED中，∠EAD=60°，AD=2BE=5

3

；

（2）在（1）中，易得OC=OB=BC=5，⊙O的面積為25π，△ABC的面積為

1

2

AB•EC=

25 3

4

；故M運動到△ABC內部的概率是

25 3 4

25π

=

3

4π

．

點評：本題考查了對幾何圖形的分析，判斷能力；同時考查了關于概率的計算．是一道綜合了幾何、代數的題目，有一定的難度．