Question

【題目】如圖，A（﹣5，0），B（﹣3，0）點C在y的正半軸上，∠CBO＝45°，CD∥AB．∠CDA＝90°，點P從點A出發，沿x軸向右以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒．

（1）當時t＝1，求PC的長；

（2）當∠BCP＝15°時，求t的值；

（3）以線段PC為直徑的⊙Q隨點P的運動而變化，當⊙Q與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）PC＝5；（2）當∠BCP＝15°時，t的值為（5﹣3）秒或（5﹣）秒；（3）t的值為8秒或5秒或秒．

【解析】

（1）由題意可知△BOC是等腰直角三角形，由此即可解決問題．

（2）分兩種情形①當點P在點B右側時，②當點P′在點B左側時，分別解直角三角形即可．

（3）由題意知，若該圓與四邊形ABCD的邊相切，有三種情況：①當該圓與BC相切于點C時．②當該圓與CD相切于點C時．③當該圓與AD相切時；分別解直角三角形，求出AP的長即可解決問題．

（1）A（﹣5，0），B（﹣3，0），

∴OA＝5，OB＝3，

當t＝1時，AP＝1，

∴OP＝OA﹣AP＝4，

∵∠CBO＝45°，∠BOC＝90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠OCB＝45°，OC＝OB＝3，

∴PC＝＝5；

（2）分兩種情況：如圖1所示：①當P在點B的左側時，

∵∠CBO＝45°，∠BCP＝15°

∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝45°+15°＝60°，

∴∠OPC＝30°，

∴OP＝OC＝3，

∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3，

∵點P沿x軸向右以每秒1個單位的速度運動，

∴t＝5﹣3，

②當在點B的右側時，

∵∠OCB＝45°，∠BC＝15°

∴∠OC＝∠OCB﹣∠BC＝45°﹣15°＝30°，

∴O＝OC＝，

∴A＝OA﹣O＝5﹣，

∵點沿x軸向右以每秒1個單位的速度運動，

∴t＝5﹣；

綜上所述，當∠BCP＝15°時，t的值為（5﹣3）秒或（5﹣）秒；

（3）如圖2中，由題意知，若該圓與四邊形ABCD的邊相切，有以下三種情況：

①當該圓與BC相切于點C時，有∠BCP＝90°，

從而∠OCP＝45°，得到OP1＝OC＝3，此時AP1＝5+3＝8，

∴t＝8；

②當該圓與CD相切于點C時，有P2C⊥CD，即點P2與點O重合，

此時AP2＝5，

∴t＝5；

③當該圓與AD相切時，

設P3（5﹣t，0），則Q（，），半徑r2＝（）2+（）2，

作QH⊥AD于點H，則QH＝，

∵QH2＝r2，

∴（）2＝（）2+（）2，

解得t＝，

綜上所述，t的值為8秒或5秒或秒．