Question

（2012•銅仁地區）如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，AB⊥CD，⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F．
（1）求證：CD∥BF；
（2）若⊙O的半徑為5，cos∠BCD=

4

5

，求線段AD的長．

Answer 1

分析：（1）由BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，根據切線的性質，即可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可得CD∥BF；
（2）又由AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，由圓周角定理，可得∠BAD=∠BCD，然后由⊙O的半徑為5，cos∠BCD=

4

5

，即可求得線段AD的長．

解答：（1）證明：∵BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴BF⊥AB，…3分
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF； …6分

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，…7分
∵⊙O的半徑5，
∴AB=10，…8分
∵∠BAD=∠BCD，…10分
∴cos∠BAD=cos∠BCD=

4

5

=

AD

AB

，
∴AD=cos∠BAD•AB=

4

5

×10=8，
∴AD=8．…12分

點評：此題考查了切線的性質、平行線的判定、圓周角定理以及三角函數的性質．此題難度適中，注意數形結合思想與轉化思想的應用．