Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點（0，5），且過點（﹣3，），先求拋物線的解析式，再解決下列問題：

（應用）問題1，如圖2，線段AB＝d（定值），將其彎折成互相垂直的兩段AC、CB后，設A、B兩點的距離為x，由A、B、C三點組成圖形面積為S，且S與x的函數關系如圖所示（拋物線y＝ax2+bx+c上MN之間的部分，M在x軸上）：

（1）填空：線段AB的長度d＝　 　；彎折后A、B兩點的距離x的取值范圍是　 　；若S＝3，則是否存在點C，將AB分成兩段（填“能”或“不能”）　 　；若面積S＝1.5時，點C將線段AB分成兩段的長分別是　 　；

（2）填空：在如圖1中，以原點O為圓心，A、B兩點的距離x為半徑的⊙O；畫出點C分AB所得兩段AC與CB的函數圖象（線段）；設圓心O到該函數圖象的距離為h，則h＝　 　，該函數圖象與⊙O的位置關系是　 　．

（提升）問題2，一個直角三角形斜邊長為c（定值），設其面積為S，周長為x，證明S是x的二次函數，求該函數關系式，并求x的取值范圍和相應S的取值范圍．

Answer 1

【答案】拋物線的解析式為：y＝﹣x2+5；（1）20＜x＜2，不能，+和﹣；（2），相離或相切或相交；（3）相應S的取值范圍為S＞c2．

【解析】

將頂點（0，5）及點（﹣3，）代入拋物線的頂點式即可求出其解析式；

（1）由拋物線的解析式先求出點M的坐標，由二次函數的圖象及性質即可判斷d的值，可由d的值判斷出x的取值范圍，分別將S＝3和1．5代入拋物線解析式，即可求出點C將線段AB分成兩段的長；

（2）設AC＝y，CB＝x，可直接寫出點C分AB所得兩段AC與CB的函數解析式，并畫出圖象，證△OPM為等腰直角三角形，過點O作OH⊥PM于點H，則OH＝PM＝，分情況可討論出AC與CB的函數圖象（線段PM）與⊙O的位置關系；

（3）設直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，由勾股定理及完全平公式可以證明S是x的二次函數，并可寫出x的取值范圍及相應S的取值范圍．

解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點（0，5），

∴y＝ax2+5，

將點（﹣3，）代入，

得＝a×（﹣3）2+5，

∴a＝ ，

∴拋物線的解析式為：y＝ ；

（1）∵S與x的函數關系如圖所示（拋物線y＝ax2+bx+c上MN之間的部分，M在x軸上），

在y＝，當y＝0時，x1＝2，x2＝﹣2，

∴M（2，0），

即當x＝2時，S＝0，

∴d的值為2；

∴彎折后A、B兩點的距離x的取值范圍是0＜x＜2；

當S＝3 時，設AC＝a，則BC＝2﹣a，

∴a（2﹣a）＝3，

整理，得a2﹣2a+6＝0，

∵△＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，

∴方程無實數根；

當S＝1.5時，設AC＝a，則BC＝2﹣a，

∴a（2﹣a）＝1.5，

整理，得a2﹣2a+3＝0，

解得，

∴當a＝時，2﹣a＝，

當a＝時，2﹣a＝，

∴若面積S＝1.5時，點C將線段AB分成兩段的長分別是和；

故答案為：2，0＜x＜2，不能，和；

（2）設AC＝y，CB＝x，

則y＝﹣x+2，如圖1所示的線段PM，

則P（0，2），M（2，0），

∴△OPM為等腰直角三角形，

∴PM＝OP＝2，

過點O作OH⊥PM于點H，

則OH＝PM＝，

∴當0＜x＜時，AC與CB的函數圖象（線段PM）與⊙O相離；

當x＝時，AC與CB的函數圖象（線段PM）與⊙O相切；

當＜x＜2時，AC與CB的函數圖象（線段PM）與⊙O相交；

故答案為：，相離或相切或相交；

（3）設直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，

則 ，

∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，

∴（x﹣c）2＝c2+2ab，

∴，

即S＝，

∴x的取值范圍為：x＞c，

則相應S的取值范圍為S＞．