Question

【題目】如圖，在中，，，點是邊上的動點（點與點、 不重合），過點作交射線于點 ，聯結，點是的中點，過點 、作直線，交于點，聯結、．

（1）當點在邊上，設, ．

①寫出關于 的函數關系式及定義域；

②判斷的形狀，并給出證明；

（2）如果，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②詳見解析；（2）或

【解析】

（1）①先證△DEB為等腰直角三角形，設DB=x，CE=y知EB=x，由EB+CE=4知x+y=4，從而得出答案；
②由∠ADE=90°，點F是AE的中點知CF=AF=AE，DF=AF=AE，據此得出CF=DF，再由∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD知∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，結合∠CAB=45°知∠CFD=90°，據此可得答案；
（2）分點E在BC上和BC延長線上兩種情況，分別求出DF、GF的長，從而得出答案．

(1)①∵，，

，，

又，

為等腰直角三角形，

，，

，

又，

，

；

②，，

，

點是的中點，

，，

，∠CAF=∠ACF，∠EAD=∠FDA，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形；

(2)如圖，當點在上時，，，

在中，，

則，

∴sin∠CAE=

，

又，

由（2）得：，

∴∠CFG=90°，

∴

∴，

；

如圖，當點在延長線上時，，

同理可得，

在中，，

，

綜上所述：DG的長為或．