Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D， AC交⊙O于點E，∠BAC=45°。

（1）求∠EBC的度數；
（2）求證：BD=CD。

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠EBC=90°-67.5°=22.5°，

（2）證明：連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，

【解析】（1）由圓周角定理得出∠AEB=∠CEB=90°，又由等腰三角形的性質得出∠ABC=∠ACB，再根據三角形內角和得出∠ABC=∠ACB=67.5°，
∠EBC=22.5°.
（2）連接AD，由圓周角定理得出∠AEB=∠CEB=90°，即AD⊥BC；又由等腰三角形的性質得出BD=CD.
【考點精析】關于本題考查的三角形的內角和外角和等腰三角形的性質，需要了解三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能得出正確答案．