Question

已知：如圖，在梯形中，∥，點、在邊上，∥， ∥，且四邊形是平行四邊形．

（1）試判斷線段與的長度之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論；

（2）現有三個論斷：①；②∠+∠=90°；③∠=2∠．請從上述三個論斷中選擇一個論斷作為條件，證明四邊形是菱形．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】（1）線段與的長度之間的數量為：．                             （1分）

證明：∵// ，//，

∴四邊形是平行四邊形．

  ∴．                                                        （2分）

同理可證，四邊形是平行四邊形．即得  ．              （1分）

又∵  四邊形是平行四邊形，∴  ．                    （1分）

∴  ．

∴  ．                                                    （1分）

（2）選擇論斷②作為條件．                                                      （1分）

證明：∵∥，

∴．                                                    （1分）

∵，

∴ ．

即得．                                                   （2分）

又∵，

∴ ．                                                       （1分）

∵  四邊形是平行四邊形，

∴  四邊形是菱形．                                             （1分）

（1）由題中所給平行線，不難得出四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，而四邊形AEFD也是平行四邊形，三個平行四邊形都共有一條邊AD，所以可得出BC=3AD的結論．

（2）可選擇②作為證明條件，先證明DE=EF，然后結合四邊形AEFD是平行四邊形得出結論．