Question

【題目】如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，已知∠B=45°，tan∠ACB=3，AC=，求：

（1）△ABC的面積；

（2）sin∠ACD的值．

Answer 1

【答案】（1）6;（2）．

【解析】

試題分析：（1）作AH⊥BC于H，如圖，在Rt△ACE中，利用正切的定義得到tan∠ACE==3，則設CH=x，AH=3x，根據勾股定理得AC=x，利用x=，解得x=1，再在Rt△ABH中，利用∠B=45°得到BH=AH=3，然后根據三角形面積公式求解；

（2）作DF⊥BC于F，如圖，由于CD是AB邊上的中線，根據三角形面積公式得到S△ACD=S△ABC=6，再證明DF為△AB的中位線，則DF=AH=，易得BF=DF=，接著根據勾股定理計算出CD=，然后利用銳角三角函數得出sin∠ACD的值．

試題解析：（1）如圖，

（1）作AH⊥BC于H，

在Rt△ACH中，

∵tan∠ACB=3，AC=，

設CH=x，AH=3x，

根據勾股定理得AC=x，

∴CH=1，AH=3，

在Rt△ABH中，∠B=45°，

∴BH=AH=3，

∴S△ABC=×4×3=6；

（2）作DF⊥BC于F，

∵S△ACD=××DE=3，

∴DE=，

∵AH⊥BC，DF⊥BC，CD是AB邊上的中線，

∴DF=AH=，

∴BF=DF=，

在Rt△CDF中，CD=，

∴在Rt△CDE中，sin∠ACD=．