Question

【題目】在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是（0，4）、（﹣1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′．

（1）若拋物線經過點C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）點M時第一象限內拋物線上的一動點，問：當點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標；
（3）若P為拋物線上一動點，N為x軸上的一動點，點Q坐標為（1，0），當P、N、B、Q構成平行四邊形時，求點P的坐標，當這個平行四邊形為矩形時，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊

形A′B′OC′，點A的坐標是（0，4），

∴點A′的坐標為（4，0）．

∵拋物線過點C，A，A′，設拋物線的函數解析式為

y=ax2+bx+c（a≠0）可得：

，解得： ，

∴拋物線的函數解析式為y=﹣x2+3x+4．

（2）

解：如圖2中，連接AA′，設直線AA′的函數解析式為y=kx+b，

可得： ，解得： ，

∴直線AA′的函數解析式是y=﹣x+4．

設M（x，﹣x2+3x+4），作MN∥y軸交AA′于N，則N（m，﹣m+4），

S△AMA′= ×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2（x﹣2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴x=2時，△AMA′的面積最大，最大面積為8，

∴M（2，6）．

（3）

解：如圖3中，

設P點的坐標為（x，﹣x2+3x+4），當P、N、B、Q構成平行四邊形時，

①當BQ為邊時，PN∥BQ 且PN=BQ，

∵BQ=4，

∴﹣x2+3x+4=±4．

當﹣x2+3x+4=4時，x=0或3，

可得P1（0，4），P2（3，4）；

當﹣x2+3x+4=﹣4時，x= ，可得P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）．

②當BQ為對角線時，PB∥x軸，即P1，P2的坐標不變；

當這個平行四邊形為矩形時，即P1（0，4），P2（3，4），N1（0，0），N2（3，0）．

綜上所述，當P1（0，4），P2（3，4），P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）．時，P、N、B、Q構成平行四邊形；

當這個平行四邊形為矩形時，N1（0，0），N2（3，0）．

【解析】（1）先確定C，A，A′三點坐標，利用待定系數法，轉化為解方程組即可．（2）如圖2中，連接AA′，設直線AA′的函數解析式為y=kx+b，設M（x，﹣x2+3x+4），作MN∥y軸交AA′于N，則N（m，﹣m+4），構建二次函數后利用二次函數的性質解決問題即可．（3）分兩種情形討論即可．①當BQ為邊時，PN∥BQ 且PN=BQ，由BQ=4，可得﹣x2+3x+4=±4．解方程可以得到點P的橫坐標．②當BQ為對角線時，PB∥x軸，即P1 ， P2的坐標不變；當這個平行四邊形為矩形時，點N的坐標利用圖象即可解決．