Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上一動點 （不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且 ．下列結論： ①△ADE∽△ACD；
②當BD=6時，△ABD與△DCE全等；
③△DCE為直角三角形時，BD為8或 ；
④CD2=CECA．
其中正確的結論是（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以①正確；
作AH⊥BC于H，如圖1，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∵AB=AC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，∵cosB=cosα= = ，
∴BH= ×10=8，
∴BC=2BH=16，
當BD=6時，CD=10，
∴AB=CD，
∴△ABD≌△DCE，所以②正確；
當∠DEC=90°時，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠ADB=∠DEC=90°，即AD⊥BC，
∴點D與點H重合，此時BD=8，
當∠EDC=90°，如圖2，

∵△ABD∽△DCE，
∴∠DAB=∠EDC=90°，
在Rt△ABD中，cosB=cosα= = ，
∴BD= = ，
∴△DCE為直角三角形時，BD為8或 ，所以③正確；
∵∠BAD=∠CDE，
而AD不是∠BAC的平分線，
∴∠CDE與∠DAC不一定相等，
∴△CDE與△CAD不一定相似，
∴CD2=CECA不成立，所以④錯誤．
所以答案是①②③．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．