Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（6，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是線段OA上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，A），過(guò)P、O兩點(diǎn)的二次函數(shù)y1和過(guò)P、A兩點(diǎn)的二次函數(shù)y2的圖象開(kāi)口均向下，它們的頂點(diǎn)分別為B、C，射線OB與AC相交于點(diǎn)D．當(dāng)OD=AD=5時(shí)，這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和等于______________。

Answer 1

【答案】4

【解析】過(guò)B作BF⊥OA于F，過(guò)D作DE⊥OA于E，過(guò)C作CM⊥OA于M，則BF+CM是這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=4，設(shè)P（3x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．

解：過(guò)B作BF⊥OA于F，過(guò)D作DE⊥OA于E，過(guò)C作CM⊥OA于M，

∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=5，DE⊥OA，
∴OE=EA=OA=3，
由勾股定理得：DE==4，
設(shè)P（3x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴，，
∵AM=PM=（OA-OP）=（6-2x）=3-x，
即，，
解得：BF=，CM=

∴BF+CM=+=4．
故答案為：4．

“點(diǎn)睛”此題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較好，但是有一定的難度，屬于綜合性試題．