Question

【題目】（本小題滿分9分）如圖，四邊形ABCD中AB∥CD，AB≠CD，BD=AC。

（1）求證：AD=BC；

（2）若E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分。

Answer 1

【答案】(1)過點B作BM∥AC交DC于點M，

∵AB∥CD， ∴四邊形ACMD是平行四邊形． ∴AC=BM

又∵BD=AC ∴BD=BM ∴∠BDC=∠M=∠ACD

又∵DC=DC ∴△ADC≌△BCD ∴AD=BC

(2)連接EH、HF、FG、EG

∵E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，∴GF=EH=AD，HF=EG=BC

∴四邊形EHFG是平行四邊形,EH=EG ∴四邊形EHFG是菱形

∴線段EF與線段GH互相垂直平分

【解析】試題分析：(1) 過點B作BM∥AC交DC于點M，就可得到四邊形ACMD是平行四邊形，證得AD=BC，就可得到△ADC≌△BCD 證出AD=BC；

（2）連接EH、HF、FG、EG，根據三角形中位線的性質證明四邊形EHFG是菱形就可證明出．

試題解析：(1)過點B作BM∥AC交DC于點M，

∵AB∥CD， ∴四邊形ACMD是平行四邊形． ∴AC=BM

又∵BD=AC ∴BD=BM ∴∠BDC=∠M=∠ACD

又∵DC=DC ∴△ADC≌△BCD ∴AD=BC

(2)連接EH、HF、FG、EG

∵E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，∴GF=EH=AD，HF=EG=BC

∴四邊形EHFG是平行四邊形,EH=EG ∴四邊形EHFG是菱形

∴線段EF與線段GH互相垂直平分