Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于點E，∠ADC的平分線交AE于點O，以點O為圓心，OA為半徑的圓經過點B，交BC于另一點F.

(1)求證：CD與⊙O相切；

(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）過點O作OG⊥DC，垂足為G．先證明∠OAD=90°，從而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS可證明△ADO≌△GDO，則OA=OG=r，則DC是⊙O的切線；
（2）連接OF，依據垂徑定理可知BE=EF=12，在Rt△OEF中，依據勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE的長，最后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數的定義求解即可．

試題解析：

(1)證明：

過點O作OG⊥DC，垂足為G．

∵AD∥BC，AE⊥BC于E，
∴OA⊥AD．
∴∠OAD=∠OGD=90°．
在△ADO和△GDO中

，
∴△ADO≌△GDO．
∴OA=OG．
∴DC是⊙O的切線．
（2）如圖所示：連接OF．

∵OA⊥BC，
∴BE=EF= BF=12．

在Rt△OEF中，OE=5，EF=12，

∴OF=，

∴AE=OA+OE=13+5=18．
∴tan∠ABC＝.