Question

【題目】已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G．

（1）求證：△BCE≌△DCF；

（2）求CF的長；

（3）如圖2，在AB上取一點H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）﹣1；（3）所有符合條件的P點坐標為（2﹣，2﹣）、（﹣2+，﹣2+）、（﹣1，﹣1）、（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用正方形的性質，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF；

（2）通過△DBG≌△FBG的對應邊相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；

（3）分三種情況分別討論即可求得．

【解答】（1）證明：如圖1，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）證明：如圖1，

∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的對角線，

∴∠EBC=∠DBC=22.5°，

由（1）知△BCE≌△DCF，

∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的對應角相等）；

∴∠BGD=90°（三角形內角和定理），

∴∠BGF=90°；

在△DBG和△FBG中，

，

∴△DBG≌△FBG（ASA），

∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的對應邊相等），

∵BD==，

∴BF=，

∴CF=BF﹣BC=﹣1；

（3）解：如圖2，∵CF=﹣1，BH=CF

∴BH=﹣1，

①當BH=BP時，則BP=﹣1，

∵∠PBC=45°，

設P（x，x），

∴2x2=（﹣1）2，

解得x=2﹣或﹣2+，

∴P（2﹣，2﹣）或（﹣2+，﹣2+）；

②當BH=HP時，則HP=PB=﹣1，

∵∠ABD=45°，

∴△PBH是等腰直角三角形，

∴P（﹣1，﹣1）；

③當PH=PB時，∵∠ABD=45°，

∴△PBH是等腰直角三角形，

∴P（，），

綜上，在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形，所有符合條件的P點坐標為（2﹣，2﹣）、（﹣2+，﹣2+）、（﹣1，﹣1）、（，）．