Question

閱讀以下材料：
若關于x的三次方程x³+ax²+bx+c=0（a、b、c為整數）有整數解n，則將n代入方程x³+ax²+bx+c=0得：n³+an²+bn+c=0
∴c=-n³-an²-bn=-n（n²+an+b）
∵a、b、n都是整數∴n²+an+b是整數∴n是c的因數．
上述過程說明：整數系數方程x³+ax²+bx+c=0的整數解n只能是常數項c的因數．
如：∵方程x³+4x²+3x-2=0中常數項-2的因數為：±1和±2，
∴將±1和±2分別代入方程x³+4x²+3x-2=0得：x=-2是該方程的整數解，-1、1、2不是方程的整數解．
解決下列問題：
（1）根據上面的學習，方程x³+2x²+6x+5=0的整數解可能______；
（2）方程-2x³+4x²+12x-14=0有整數解嗎？若有，求出整數解；若沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）認真學習題目給出的材料，掌握“整數系數方程x³+ax²+bx+c=0的整數解只可能是c的因數”，再作答．
（2）先變形為x³-2x²-6x+7=0，根據分析（1）得出7的因數后再代入檢驗可得出答案．
解答：解：（1）由閱讀理解可知：該方程如果有整數解，它只可能是5的因數，而5的因數只有：±1，±5這四個數．
故答案為：±1，±5；                                  …（4分）

（2）∵-2x³+4x²+12x-14=0
∴x³-2x²-6x+7=0…（6分）
∵方程x³-2x²-6x+7=0中常數項7的因數為：±1和±7 …（8分）
∴將±1和±7分別代入方程x³-2x²-6x+7=0得：x=1是該方程的整數解，-1、±7不是方程的整數解．…（10分）
點評：本題考查同學們的閱讀能力以及自主學習、自我探究的能力，該類型的題是近幾年的熱點考題．
認真學習題目給出的材料，掌握“整數系數方程x³+ax²+bx+c=0的整數解只可能是c的因數”是解答問題的基礎．