Question

【題目】如圖，折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)C落在OA邊的點(diǎn)D處，已知折痕BE=，且=，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線l：y=x2+x+c經(jīng)過點(diǎn)E，且與AB邊相交于點(diǎn)F．

（1）求證：△ABD∽△ODE;
（2）若M是BE的中點(diǎn)，連接MF，求證：MF⊥BD；
（3）P是線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線l上，且始終滿足PD⊥DQ，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】證明：

∵四邊形ABCO為矩形，且由折疊的性質(zhì)可知△BCE≌△BDE，

∴∠BDE=∠BCE=90°，

∵∠BAD=90°，

∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，

∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，

∴△ABD∽△ODE；

（2）

【解答】

證明：

∵=，

∴設(shè)OD=4x，OE=3x，則DE=5x，

∴CE=DE=5x，

∴AB=OC=CE+OE=8x，

又∵△ABD∽△ODE，

∴==，

∴DA=6x，

∴BC=OA=10x，

在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，

∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，

∴拋物線解析式為y=x2+x+3，

當(dāng)x=10時(shí)，代入可得y=，

∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，

在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，

∴BF=DF，

又M為Rt△BDE斜邊上的中點(diǎn)，

∴MD=MB，

∴MF為線段BD的垂直平分線，

∴MF⊥BD；

（3）

【解答】

解：由（2）可知拋物線解析式為y=x2+x+3，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為H、G，

令y=0，可得0=x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，

∴H（﹣4，0），G（12，0），

①當(dāng)PD⊥x軸時(shí)，由于PD=8，DM=DN=8，

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣4，0）或（12，0）時(shí)，△PDQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形；

②當(dāng)PD不垂直與x軸時(shí)，分別過P，Q作x軸的垂線，垂足分別為N，I，則Q不與G重合，從而I不與G重合，即DI≠8．

∵PD⊥DQ，

∴∠QDI=90°﹣∠PDN=∠DPN，

∴Rt△PDN∽R(shí)t△DQI，

∵PN=8，

∴PN≠DI，

∴Rt△PDN與Rt△DQI不全等，

∴PD≠DQ，另一側(cè)同理PD≠DQ．

綜合①，②所有滿足題設(shè)條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣4，0）或

（12，0）．

【解析】（1）由折疊和矩形的性質(zhì)可知∠EDB=∠BCE=90°，可證得∠EDO=∠DBA，可證明△ABD∽△ODE；
（2）由條件可求得OD、OE的長，可求得拋物線解析式，結(jié)合（1）由相似三角形的性質(zhì)可求得DA、AB，可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，可得到BF=DF，又由直角三角形的性質(zhì)可得MD=MB，可證得MF為線段BD的垂直平分線，可證得結(jié)論；
（3）過D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)G，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M、N，可求得DM=DN=DG，可知點(diǎn)M、N為滿足條件的點(diǎn)Q，可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．