Question

已知關于x的一元二次方程（m²-1）x²-6（3m-1）x+72=0．
（1）若x=1是這個方程的一個根，求m的值和方程的另一個根；
（2）求m是什么整數時，此方程有兩個不相等的正實數根？

Answer 1

解：（1）設方程的另一根為a，
∵x=1是這個方程的一個根，
∴（m²-1）-6（3m-1）+72=0．
整理得：m²-18m+77=0．
解得：m=11或7，
∵1×a=，
解得a=或a=．

（2）∵m²-1≠0
∴m≠±1
∵△=36（m-3）²＞0
∴m≠3
用求根公式可得：x₁=，x₂=
∵x₁，x₂是正整數
∴m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．
分析：（1）把x=1代入方程求出a的值，再把a的值代入方程，求出方程的另一個根；
（2）首先根據已知條件可得m²-1≠0，進而得到m≠±1，然后根據根的判別式△＞0，可得m≠3；再利用求根公式用含m的式子表示x，因為，方程有兩個不相等的正整數根，所以分情況討論m的值即可．
點評：此題主要考查了一元二次方程的二次項系數不能為0，根的判別式和求方程的整數解的綜合運用，還用到了數學中的分類討論思想，綜合性較強．