Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（12，0）、（12，6），直線與y軸交于點P，與邊OA交于點D，與邊BC交于點E．

（1）若，求k的值；

（2）在（1）的條件下，當直線繞點P順時針旋轉時，與直線BC和x軸分別交于點N、M，問：是否存在NO平分∠CNM的情況？若存在，求線段DM的長；若不存在，請說明理由；

（3）在（1）的條件下，將矩形OABC沿DE折疊，若點O落在邊BC上，求出該點坐標；若不在邊BC上，求將（1）中的直線沿y軸怎樣平移，使矩形OABC沿平移后的直線折疊，點O恰好落在邊BC上．

Answer 1

 解：（1）∵直線經過點且，

 

即

（2）如圖1假設存在ON平分∠CNM的情況

①當直線PM與邊BC和邊OA相交時，過O作OH⊥PM于H

∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，

∴OH=OC=6

由（1）知OP=12，∴∠OPM=30°

∴OM=OP•tan30°=

；

②當直線PM與直線BC和x軸相交時

同上可得（或由OM=MN解得）；

（3）如圖2假設沿DE將矩形OABC折疊，點O落在邊BC上O′處連接PO′、OO′，則有PO′=OP

由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′=OO′

∴△OPO′為等邊三角形，∴∠OPD=30°

而由（2）知∠OPD＞30°

所以沿DE將矩形OABC折疊，點O不可能落在邊BC上

如圖3設沿直線將矩形OABC折疊，點O恰好落在邊BC上O′處

連接P′O′、OO′，則有P′O′=OP′=a

由題意得：CP′=a﹣6，∠OPD=∠AO′O

在Rt△OPD中，

在Rt△OAO′中，

即

在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：

解得

所以將直線沿y軸向下平移個單位得直線，將矩形OABC沿直線折疊，點O恰好落在邊BC上．