Question

在如圖1至圖3中，△ABC的面積為a．

（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA．若△ACD的面積為S₁，則S₁=

a

（用含a的代數式表示）；
（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若△DEC的面積為S₂，則S₂=

2a

（用含a的代數式表示），并寫出理由；
（3）在圖2的基礎上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD、FE，得到△DEF（如圖3），若陰影部分的面積為S₃，則S₃=

6a

（用含a的代數式表示）；
（4）像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到△DEF（如圖3），此時，我們稱△ABC向外擴展了一次．可以發現，擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的

7

倍．

Answer 1

分析：（1）根據等底等高的三角形面積相等解答即可；
（2）分別過A、E作BD的垂線，根據三角形中位線定理及三角形的面積公式求解即可；
（3）由△BFD、△ECD及△AEF的邊長為△ABC邊長的一半，即可求出S₃的值；
（4）根據高與△AEF的高相等解答即可．

解答：解：（1）∵CD=BC，△ABC的面積為a，△ABC與△ACD的高相等，
∴S₁=S_△ABC=a，
故答案為：a；
（2）分別過A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F為垂足，則AG∥EF，
∵A為CE的中點，∴AG=

1

2

EF，
∵BC=CD，
∴S₂=2S₁=2a，
故答案為2a；
（3）∵△BDF的邊長BD是△ABC邊長BC的2倍，兩三角形的兩邊互為另一三角形兩邊的延長線，
∴S_△BDF=2S_△ABC，
∵△ABC面積為a，∴S_△BDF=2a．
同理可得，S_△ECD=2a，S_△AEF=2a，
∴S₃=S_△BDF+S_△ECD+S_△AEF=2a+2a+2a=6a，
故答案為6a；
（4）∵S₃=S_△BDF+S_△ECD+S_△AEF=6a，
∴S_△EDF=S₃+S_△ABC=6a+a=7a，
∴

S△DEF

S△ABC

=

7a

a

=7，
∴擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的7倍，
故答案為7．

點評：本題考查了三角形的面積，面積和等積變形等知識點的應用，能根據等底等高的三角形的面積相等求出每個三角形的面積和根據得出的結果得出規律是解此題的關鍵，培養學生分析問題的能力．