Question

如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作DE⊥AC于E，可得結論：DE是⊙O的切線．問：
（1）若點O在AB上向點B移動，以O為圓心，OB長為半徑的圓仍交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述

結論是否成立？請說明理由；
（2）如果AB=AC=5cm，sinA=

3

5

，那么圓心O在AB的什么位置時，⊙O與AC相切？

Answer 1

（1）結論成立．理由如下：
如圖，連接OD；
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD∥AC；
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切線．



（2）當圓心O在AB上距B點為3x=

15

8

時，⊙O與AC相切．
如圖所示，⊙O與AC相切于F，⊙O與AB相交于G．則OF⊥AC；
在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5；
設OF=3X，AO=5X，則OB=OG=OF=3X，AG=2X，
∴8x=AB=5，
∴x=

5

8

，此時OB=3x=

15

8

時，
即當圓心O在AB上距B點為3x=

15

8

時，⊙O與AC相切．