Question

如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上求點M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍；
（3）連接OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點N，使△OBN與△OAB相似？若存在，求出N點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知頂點坐標，設拋物線解析式的頂點式y=a（x-2）²+1，把O（0，0）代入即可；
（2）∵△MOB與△AOB公共底邊OB，最高點A的縱坐標為1，只需要點M的縱坐標為-3即可，將y=-3，代入解析式可求M點坐標；
（3）由已知△OAB為等腰三角形，點N在拋物線上，只可能OB=BN，即要求∠AOB=∠BON，A、A'要關于x軸對稱，通過計算，不存在．

解答：解：（1）由題意，可設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，
∵拋物線過原點，
∴a（0-2）²+1=0，a=-

1

4

．
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+1=-

1

4

x²+x．
（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S_△MOB=3S_△AOB，
∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M點的縱坐標是-3．
∴-3=-

1

4

x²+x，即x²-4x-12=0．
解之，得x₁=6，x₂=-2．
∴滿足條件的點有兩個：M₁（6，-3），M₂（-2，-3）

（3）不存在．
由拋物線的對稱性，知AO=AB，∠AOB=∠ABO．
若△OBN與△OAB相似，必有∠BON=∠BOA=∠BNO，
即OB平分∠AON，
設ON交拋物線的對稱軸于A'點，則A、A′關于x軸對稱，
∴A'（2，-1）．
∴直線ON的解析式為y=-

1

2

x．
由-

1

2

x=-

1

4

x²+x，得x₁=0，x₂=6．
∴N（6，-3）．
過N作NE⊥x軸，垂足為E．在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，
∴NB=

22+32

=

13

．
又∵OB=4，
∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN與△OAB不相似．
同理，在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的N點．
所以在該拋物線上不存在點N，使△OBN與△OAB相似．

點評：本題考查了拋物線解析式的求法，坐標系里的面積問題，探求相似三角形的存在性問題，具有一定的綜合性．