Question

【題目】如圖所示，一個工人師傅要將一個正方形ABCD的余料，修剪成四邊形ABEF的零件，其中CE=BC，F是CD的中點.

（1）若正方形的邊長為a,試用含a的代數式表示AF2+EF2的值；

（2）連結AE，△AEF是直角三角形嗎？為什么？（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△AEF是直角三角形，理由見解析；

【解析】

（1）先連接AE，證明△ADF∽△FCE，得到∠AFE=90°，所以AF2+EF2=AE2=a2．

（2）由（1）的結論利用勾股定理逆定理，即可解答.

(1)連接AE，

則AB=a,BE=a，

∵∠B=90°，

∴AE2=a2；

∵CE:CF=DF:AD=1:2，

∠C=∠D=90°；

∴△ADF∽△FCE，

∴∠CFE+∠AFD=90°

∴∠AFE=90°

∴AF2+EF2=AE2=a2；

(2) △AEF是直角三角形，理由如下：

由(1)中可知AF2+EF2=AE2，

∴△AEF是直角三角形.