Question

已知：直線過拋物線的頂點P，如圖所示．

（1）頂點P的坐標是　   　；
（2）若直線y=ax+b經過另一點A（0，11），求出該直線的表達式；
（3）在（2）的條件下，若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關于x軸成軸對稱，求直線y=mx+n與拋物線的交點坐標．

Answer 1

解：（1）∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x ²+2x）+3=﹣（x+1） ²+4，
∴P點坐標為：（﹣1，4）。
（2）將點P（﹣1，4），A（0，11）代入y=ax+b得：，解得：。
∴該直線的表達式為：y=7x+11。
（3）∵直線y=mx+n與直線y=7x+11關于x軸成軸對稱，
∴y=mx+n過點P′（﹣1，﹣4），A′（0，﹣11）。
∴，解得：。
∴y=﹣7x﹣11。∴﹣7x﹣11=﹣x ²﹣2x+3。
解得：x₁=7，x₂=﹣2，此時y₁=﹣60，y₂=3。
∴直線y=mx+n與拋物線y=﹣x²﹣2x+3的交點坐標為：（7，﹣60），（﹣2，3）。

試題分析：（1）利用配方法求出圖象的頂點坐標即可：
（2）利用待定系數法求一次函數解析式即可。
（3）根據關于x軸對稱點的坐標性質，首先求出直線y=mx+n的解析式，進而得出直線y=mx+n與拋物線y=﹣x²﹣2x+3的交點坐標。