Question

【題目】在現今“互聯網+”的時代，密碼與我們的生活已經緊密相連，密不可分．而諸如“123456”、生日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產生一組容易記憶的6位數密碼就很有必要了．有一種用“因式分解法產生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個多項式分解因式，如多項式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的結果為（x﹣1）（x+1）（x+2），當x＝18時，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此時可以得到數字密碼171920．

（1）根據上述方法，當x＝21，y＝7時，對于多項式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些數字密碼？（寫出兩個）

（2）若多項式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本題的方法，當x＝27時可以得到其中一個密碼為242834，求m、n的值．

Answer 1

【答案】（1）可以形成的數字密碼是：212814、211428；（2）m的值是56，n的值是17．

【解析】

（1）先將多項式進行因式分解，然后再根據數字密碼方法形成數字密碼即可；（2）設x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），當x＝27時可以得到其中一個密碼為242834，得到方程解出p、q、r，然后回代入原多項式即可求得m、n

（1）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），

當x＝21，y＝7時，x+y＝28，x﹣y＝14，

∴可以形成的數字密碼是：212814、211428；

（2）設x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），

∵當x＝27時可以得到其中一個密碼為242834，

∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，

解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，

∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），

∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，

∴ 得，

即m的值是56，n的值是17．