Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（點P不與B、C重合），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA、NA，則以下結論：①△CMP∽△BPA；②四邊形AMCB的面積最大值為2.5；③△ADN≌△AEN；④線段AM的最小值為2.5；⑤當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線．正確的有_____（只填序號）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】分析：①正確．只要證明∠CPM=∠PAB，∠C=∠B=90°，即可；

②正確，設PB=x，構建二次函數，利用二次函數性質解決問題即可；

③正確．根據HL即可證明；

④正確，作MG⊥AB于G，因為AM=，所以AG最小時AM最小，構建二次函數，求得AG的最小值為，AM的最小值為．

⑤錯誤，設ND=NE=y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解決問題．

詳解：①由翻折可知，∠APE=∠APB，∠MPC=∠MPN，

∴∠APE+∠MPF=∠CPN+∠BPE=90°，

∴∠CPM+∠APB=90°，∵∠APB+∠PAB=90°，

∴∠CPM=∠PAB，∵∠C=∠B=90°，

∴△CMP∽△BPA．故①正確；

②設PB=x，則CP=2-x，

∵△CMP∽△BPA，

∴，，

∴CM=x（2-x），

∴S四邊形AMCB= [2+x（2-x）]×2=-x2+x+2=-（x-1）2+2.5，

∴x=1時，四邊形AMCB面積最大值為2.5，故②正確；

③在Rt△ADN和Rt△AEN中，

，

∴△ADN≌△AEN．故③正確；

④作MG⊥AB于G，

∵AM=，

∴AG最小時AM最小，

∵AG=AB-BG=AB-CM=2-x（2-x）=（x-1）2+，

∴x=1時，AG最小值=，

∴AM的最小值=，故④正確．

⑤當PB=PC=PE=1時，

由折疊知，ND=NE，

設ND=NE=y，

在Rt△PCN中，（y+1）2=（2-y）2+12解得y=

∴NE=，

∴NE≠EP，故⑤錯誤，