Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論：①△AED≌△AEF；②AE：BE=AD：CD；③△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；④BE²+DC²=DE² ⑤BE+DC=DE其中正確的是（　　）

A．①②④    B．③④⑤   C．①③⑤   D．①③④

Answer 1

D.

試題分析：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°．∴∠EAF=45°，∴△AED≌△AEF；故本選項正確；
②∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD；∴當∠BAE=∠CAD時，△ABE∽△ACD，∴=；當∠BAE≠∠CAD時，△ABE與△ACD不相似，即≠；∴此比例式不一定成立；故本選項錯誤；
③根據旋轉的性質知△ADC≌△AFB，∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ABF=S_{四邊形AFBD}，即三角形ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；故本選項正確；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE²+BF²=EF²，∵△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，又∵EF=DE，∴BE²+DC²=DE²，故本選項正確；
⑤根據①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE，故本選項錯誤；
綜上所述，正確的說法是①③④；
故選D．