Question

【題目】數學活動：擦出智慧的火花---------由特殊到一般的數學思想．

數學課上，李老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的點，過點E作EF⊥AE,過點F作FG⊥BC交BC的延長線于點G..

（1）求證：∠BAE=∠FEG.

（2）同學們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖2，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線于點F，求證：AE=EF．

經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE＝EF．請借助圖1完成小明的證明；

在（2）的基礎上，同學們作了進一步的研究：

（3）小聰提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小聰的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據∠AEF=90°，即可得到∠AEB+∠FEG=90°，在直角△ABE中，利用三角形內角和定理得到∠BAE+∠AEB=90°，然后根據同角的余角相等，即可證得；

（2）作AB的中點M，連接ME，根據ASA即可證明△AME≌△ECF，然后根據全等三角形的對應邊相等即可證得；

（3）在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，同（2）根據ASA即可證明△AME≌△ECF，然后根據全等三角形的對應邊相等即可證得．

試題解析：解：（1）∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°．又∵直角△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEG；

（2）作AB的中點M，連接ME．

∵正方形ABCD中，AB=BC．又∵AM=MB=AB，BE=CE=BC，∴MB=BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°．又∵∠ECF=180°﹣∠FCG=180°﹣45°=135°，∴∠AME=∠ECF．在△AME和△ECF中，∵∠BAE=∠FEC，AM=EC，∠AME=∠ECF，∴△AME≌△ECF，∴AE=EF；

（3）在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°．∵CF是外角平分線，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF．

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF．在△AME和△ECF中，∵∠BAE=∠FEC，AAM=EC，∠AME=∠ECF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．