Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，EC平分∠DEB，F為CE的中點，連接AF，BF，過點E作EH∥BC分別交AF，CD于G，H兩點．
（1）求證：DE=DC；
（2）求證：AF⊥BF；
（3）當AFGF=28時，請直接寫出CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠DCE=∠CEB，

∵EC平分∠DEB，

∴∠DEC=∠CEB，

∴∠DCE=∠DEC，

∴DE=DC；

（2）解：如圖，連接DF，

∵DE=DC，F為CE的中點，

∴DF⊥EC，

∴∠DFC=90°，

在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，

∴BF=CF=EF= EC，

∴∠ABF=∠CEB，

∵∠DCE=∠CEB，

∴∠ABF=∠DCF，

在△ABF和△DCF中，

，

∴△ABF≌△DCF（SAS），

∴∠AFB=∠DFC=90°，

∴AF⊥BF

（3）解：CE=4 ．

理由如下：∵AF⊥BF，

∴∠BAF+∠ABF=90°，

∵EH∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BEH=90°，

∴∠FEH+∠CEB=90°，

∵∠ABF=∠CEB，

∴∠BAF=∠FEH，

∵∠EFG=∠AFE，

∴△EFG∽△AFE，

∴ = ，即EF2=AFGF，

∵AFGF=28，

∴EF=2 ，

∴CE=2EF=4

【解析】（1）根據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到∠DCE=∠DEC，進而得出DE=DC；（2）連接DF，根據等腰三角形的性質得出∠DFC=90°，再根據直角三角形斜邊上中線的性質得出BF=CF=EF= EC，再根據SAS判定△ABF≌△DCF，即可得出∠AFB=∠DFC=90°，據此可得AF⊥BF；（3）根據等角的余角相等可得∠BAF=∠FEH，再根據公共角∠EFG=∠AFE，即可判定△EFG∽△AFE，進而得出EF2=AFGF=28，求得EF=2 ，即可得到CE=2EF=4 ．
【考點精析】通過靈活運用矩形的性質和相似三角形的判定與性質，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．