Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象過點B（0，1）和C（4，3）兩點，與x軸交于點D、點E，過點B和點C的直線與x軸交于點A．

(1)求二次函數的解析式；

(2)在x軸上有一動點P，隨著點P的移動，存在點P使△PBC是直角三角形，請你求出點P的坐標；

(3)若動點P從A點出發，在x軸上沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，同時動點Q也從A點出發，以每秒a個單位的速度沿射線AC運動，是否存在以A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，直接寫出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式y=x2–x+1；(2)點P坐標為（1，0），（3，0），（，0），（，0）；(3)a=或．

【解析】

(1) 將B、C兩點坐標代入二次函數解析式,通過聯立方程組可求得b、c的值，進而求出函數解析式;

(2)設P（x，0），由△PBC是直角三角形，分∠CBP=90°與∠BPC=90°兩種情況討論，運用勾股定理可得x的值，進而得到P點坐標;

(3)假設成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,則對應邊成比例，可求出a的值.

(1)∵二次函數y=0.5x2+bx+c的圖象過點B（0，1）和C（4，3）兩點，

∴，解得，

∴拋物線解析式y=x2–x+1．

(2)設點P坐標為（x，0）．

∵點P（x，0），點B（0，1），點C（4，3），

∴PB==，

CP= =，

BC= =2，

若∠BCP=90°，則BP2=BC2+CP2．

∴x2+1=20+x2–8x+25，∴x=．

若∠CBP=90°，則CP2=BC2+BP2．

∴x2+1+20=x2–8x+25，∴x=．

若∠BPC=90°，則BC2=BP2+CP2．

∴x2+1+x2–8x+25=20，

∴x1=1，x2=3，

綜上所述：點P坐標為（1，0），（3，0），（，0），（，0）．

(3)a=或．

∵拋物線解析式y=x2–x+1與x軸交于點D，點E，

∴0=x2–x+1，∴x1=1，x2=2，∴點D（1，0）．

∵點B（0，1），C（4，3），

∴直線BC解析式y=x+1．

當y=0時，x=–2，∴點A（–2，0）．

∵點A（–2，0），點B（0，1），點D（1，0），

∴AD=3，AB=．

設經過t秒，∴AP=2t，AQ=at，

若△APQ∽△ADB，

∴，即，∴a=，

若△APQ∽△ABD，∴，即，∴a=．

綜上所述：a=或．