Question

【題目】綜合題
（1）如圖，已知△ABC中，AD⊥BC于D， AE為∠BAC的平分線，∠B=50°，∠C=70°，求∠DAE的度數．

（2）已知在△ABC中，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC（∠C>∠B）．求證：∠DAE= （∠C－∠B）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠B=50°，∠C=70°，

∴∠BAC=60°

∵AE平分∠BAC

∴∠EAC=60°÷2=30°

∵AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∴∠DAC=180°－90°－70°=20°

∴∠DAE=∠EAC－∠DAC=30°－20°=10°

（2）解：∵AE平分∠BAC（已知），

∴∠EAC= ∠BAC

∵∠BAC+∠B+∠C=180°

∴∠BAC=180°-∠B-∠C

∴∠EAC= （180°-∠B-∠C）．

∵AD⊥BC（已知），

∴∠ADC=90° 在△ADC中，∠ADC+∠C+∠DAC=180°

∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C（等式性質）=90°-∠C．

∴∠EAD=∠EAC-∠DAC= （180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）

= （180°-∠B-∠C）- （180°-2∠C）= （180°-∠B-∠C-180°+2∠C）= （∠C-∠B）

【解析】（1）根據三角形的內角和定理，求出∠BAC的度數，根據角平分線的定義和角的和差，求出∠DAE的度數；（2）根據角平分線定義和三角形內角和定理以及角的和差，得到結論.
【考點精析】掌握三角形的“三線”和三角形的內角和外角是解答本題的根本，需要知道1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內；三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．