Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的長(zhǎng)；
（2）若BP=2，求CQ的長(zhǎng)；
（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為點(diǎn)F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

（1），；（2）CQ或CQ；（3）或

試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，再結(jié)合點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)可得CD的長(zhǎng)，然后證得△ABC∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（2）分①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）由△BPD∽△EQD可得，若設(shè)BP="x" ，則，，可得，即得∠QPD=∠C，又可證∠PDE=∠CDQ，則可得△PDF∽△CDQ，再分①當(dāng)CQ=CD時(shí)，②當(dāng)QC=QD時(shí)，③當(dāng)DC=DQ時(shí)，三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.
（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8 
∴BC=10
點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)  
∴CD=5
可證△ABC∽△DEC
∴， 即
∴，；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，
在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°， 
∴∠DEC=∠B
∵DE⊥BC，∠PDQ=90° 
∴∠PDQ=∠BDE=90° 
∴∠BDP=∠EDQ
∴△BPD∽△EQD
∴，即，
∴
∴CQ=EC-EQ；
②當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得：，
∴CQ=EC+EQ；
（3）∵線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為點(diǎn)F，
∴點(diǎn)P在邊AB上
∵△BPD∽△EQD   
∴
若設(shè)BP="x" ，則，，可得   
∴∠QPD=∠C
又可證∠PDE="∠CDQ"
∴△PDF∽△CDQ
∵△PDF為等腰三角形
∴△CDQ為等腰三角形
①當(dāng)CQ=CD時(shí)，可得，解得
②當(dāng)QC=QD時(shí)， 過點(diǎn)Q作QM⊥CB于M，
∴，
∴，解得
③當(dāng)DC=DQ時(shí)，過點(diǎn)D作DN⊥CQ于N，
∴，
∴，解得(不合題意，舍去)
∴綜上所述，或.
點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．