Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連接PC，過點P作PE⊥PC交AB于E
（1）求證：△AEP∽△DPC；
（2）當點P在AD上運動時，對應的點E也隨之在AB上運動，設DP=x，BE=y，求y與x之間的函數關系式，并求出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的性質可以得到∠A=∠D，利用PE⊥PC可以得到∠APE=∠DCP，從而證明兩三角形相似；
（2）利用上題證得的三角形相似，列出比例式，進而得到兩個變量之間的函數關系．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC；

（2）設DP=x，BE=y，則AE=2-y，AP=3-x，
∵△AEP∽△DPC
∴

DC

AP

=

PD

AE

，
即：

2

3-x

=

x

2-y

，
整理得：y=

1

2

x²-

3

2

x+2（0＜x＜3）．

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質，正確的利用矩形的性質是解題的關鍵．