Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切線于點(diǎn)B，AC與⊙O相交于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若∠BED=70°，⊙O的半徑為2，求劣弧BD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴DE=BE=

1

2

BC，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BC是⊙O相切線，
∴AB⊥BC，
∴∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
即OD⊥DE，
∴直線DE是⊙O的切線；

（2）∵∠ABE=∠ODE=90°，∠BED=70°，
∴∠BOD=360°-∠ABE-∠ODE-∠BED=110°，
∴劣弧BD的長為：

110

180

×π×2=

11

9

π．