Question

如圖，已知邊長為2的正方形ABCD，P是BC邊上一點，E是BC邊延長線上一點，過點P作PF⊥AP與∠DCE的平分線CF交于點F．AF與CD交于點G．
（1）求證：AP=PF；
（2）若AP=AG，試說明PG與CF有怎樣的位置關系，并求△APG的面積．

Answer 1

分析：（1）在正方形ABCD邊AB上截取BQ=BP，連接PQ，由正方形的四個角為直角，四條邊相等，得到三角形BPQ為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質及鄰補角定義可得出∠AQP=135°，由CF為直角的平分線，得到∠FCP=135°，可得出一對角相等，再由AB=BC，左邊減去BQ，右邊減去BP，得到AQ=PC，又AP垂直于PF，得到一個角為直角，再由平角定義得到一對角互余，在直角三角形ABP中，可得出兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA可得出三角形APQ與三角形CFP全等，由全等三角形的對應邊相等可得出AP=PF，得證；
（2）PG與CF的位置關系為平行，理由為：由AP=AG，AB=AD，利用HL得出直角三角形ABP與直角三角形ADG全等，利用全等三角形的對應邊相等得到BP=DG，再由BC=CD，利用等式的性質得到PC=GC，可得出三角形PCG為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到∠GPC=45°，由CF為直角的平分線，得到∠FCE=45°，得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行可得出PG與CF平行；由AP=PF，且AP與PF垂直，得到三角形APF為等腰直角三角形，得到∠PAG=45°，進而得到∠BAP=∠DAG=22.5°，連接AC，可得出AC垂直于PG，由AP=AG，利用三線合一得到AN為角平行，可得出∠NAP=∠NAG=22.5°，可得出三角形APN，三角形APB，三角形ANG，三角形ADG四個三角形全等，可得出AN=AB=2，PG=2BP，設BP=PN=x，在等腰直角三角形PNC中，利用勾股定理表示出PC，由BP+PC=BC列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為BP的長，確定出PG的長，以PG為底，AN為高，利用三角形的面積公式即可求出三角形APG的面積．

解答：解：（1）證明：在BA邊上截取BQ=BP，連接PQ，如圖所示：

可得△BPQ為等腰直角三角形，即∠BQP=45°，
∴∠AQP=135°，
又∵CF為直角∠DCE的平分線，
∴∠FCE=45°，
∴∠PCF=∠AQP=135°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，
∴AB-BQ=BC-BP，即AQ=PC，
∵PF⊥AP，
∴∠APF=90°，
∴∠APB+∠CPF=90°，
又∵∠APB+∠QAP=90°，
∴∠QAP=∠CPF，
在△AQP和△PCF中，
∵

∠QAP=∠CPF AQ=PC ∠AQP=∠PCF

，
∴△ABP≌△PMF（ASA），
∴AP=FP；

（2）PG與CF有怎樣的位置關系是平行，理由為：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，
在Rt△ABP和Rt△ADG中，
∵

AP=AG AB=AD

，
∴Rt△ABP≌Rt△ADG（HL），
∴BP=DG，∠BAP=∠DAG，
∴BC-BP=CD-DG，即CP=CG，
∴△PCG為等腰直角三角形，
∴∠GPC=45°，
又∵∠FCE=45°，
∴∠FCE=∠GPC，
∴CF∥GP，
又∵AP=PF，且∠APF=90°，
∴△APF為等腰直角三角形，即∠PAG=45°，
∴∠BAP=∠DAG=22.5°，
連接AC，如圖所示，
可得出CA為∠BCD的平分線，且CP=CG，
∴AC⊥PG，又AP=AG，
∴AN為∠PAG的平分線，
∴∠PAN=∠GAN=22.5°，
顯然△ABP≌△ANP≌△ANG≌ADG，
∴AB=AN=AD，BP=PN=GN=GD，
即PG=PN+NG=BP+DG=2BP，
設BP=PN=x，在等腰Rt△PNC中，可得PC=

2

x，
∴BP+PC=2，即x+

2

x=2，
解得：x=2

2

-2，故PG=2x=4

2

-4，
則S_△APG=

1

2

PG•AN=

1

2

×（4

2

-4）×2=4

2

-4．

點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，平行線的判定，以及勾股定理，利用了轉化及方程的思想，是一道綜合性較強的試題．