Question

【題目】如圖，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D為B點關于AC的對稱點，反比例函數y= 的圖象經過D點．

（1）證明四邊形ABCD為菱形；

（2）求此反比例函數的解析式；

（3）已知在y=的圖象（x＞0）上一點N，y軸正半軸上一點M，且四邊形ABMN是平行四邊形，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）反比例函數的解析式為；（3）M點的坐標為.

【解析】試題分析：（1）由A（0，4），B（-3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D為B點關于AC的對稱點，可得AB=AD，BC=DC，即可證得AB=AD=CD=CB，繼而證得四邊形ABCD為菱形；

（2）由四邊形ABCD為菱形，可求得點D的坐標，然后利用待定系數法，即可求得此反比例函數的解析式；

（3）由四邊形ABMN是平行四邊形，根據平移的性質，可求得點N的橫坐標，代入反比例函數解析式，即可求得點N的坐標，繼而求得M點的坐標．

試題解析：（1）∵A(O，4)，B(-3，0)，C(2，0)，

∴OA=4,OB=3 ,OC=2,

∴，BC=5，

∴AB=BC.

∵D為B點關于AC的對稱點，

∴AB=AD，CB=CD，

∴AB=AD=CD=CB.

∴四邊形ABCD為菱形.

（2）∵四邊形ABCD為菱形，

∴D點的坐標為(5,4)，反比例函數的圖象經過D點，

∴，

∴k=20，

∴反比例函數的解析式為.

（3）∵四邊形ABMN是平行四邊形，

∴AN∥BM，AN=BM，

∴AN是BM經過平移得到的.

∴首先BM向右平移了3個單位長度，

∴N點的橫坐標為3，代入，得，

∴M點的縱坐標為，

∴M點的坐標為.