Question

【題目】（1）如圖⑴，在△ABC中，∠ABC 、∠ACB的平分線相交于點O，試說明∠BOC＝90°＋∠A；

（2）如圖⑵，在△ABC中，BD、CD分別是∠ABC 、∠ACB的外角平分線，試說明∠D＝90°－∠A；

（3）如圖⑶，已知BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，且與BD交于點D，試說明∠A＝2∠D。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據三角形角平分線的性質可得，∠OBC+∠OCB=90°-∠A，根據三角形內角和定理可得∠BOC=90°+∠A；

（2）根據三角形外角平分線的性質可得∠BCD=（∠A+∠ABC）、∠DBC=（∠A+∠ACB）；根據三角形內角和定理可得∠BDC=90°-∠A；

（3）根據BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），兩式聯立可得2∠D=∠A．

（1）證明：∵在△ABC中，OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的平分線，

∴∠OBC+∠OCB=（180°-∠A）=90°-∠A，

故∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A；

（2）證明：∵BD、CD分別是∠ABC 、∠ACB的外角平分線，

∴∠BCD=（∠A+∠ABC）、∠DBC=（∠A+∠ACB），

由三角形內角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC，

=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，

=180°-（∠A+180°），

=90°-∠A；

（3）證明：如圖：

∵BD為△ABC的角平分線，交AC與點E，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，兩角平分線交于點D，

∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，

在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3，

∴∠1+∠3=180°-∠A①，

在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），

即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，

把①代入②得2∠D=∠A．