Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點D，且BD∥OC，連接AC．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若AB=OC=4，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；

【解析】

（1）連接OD，先根據切線的性質得到∠CDO=90°，再根據平行線的性質得到∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，又因為OB=OD，所以∠OBD=∠ODB，即∠AOC=∠COD，再根據全等三角形的判定與性質得到∠CAO=∠CDO=90°，根據切線的判定即可得證；

（2）因為AB=OC=4，OB=OD，Rt△ODC與Rt△OAC是含30°的直角三角形，從而得到

∠DOB=60°，即△BOD為等邊三角形，再用扇形的面積減去△BOD的面積即可.

（1）證明：連接OD，

∵CD與圓O相切，

∴OD⊥CD，

∴∠CDO=90°，

∵BD∥OC，

∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠AOC=∠COD，

在△AOC和△DOC中，

，

∴△AOC≌△EOC（SAS），

∴∠CAO=∠CDO=90°，則AC與圓O相切；

（2）∵AB=OC=4，OB=OD，

∴Rt△ODC與Rt△OAC是含30°的直角三角形，

∴∠DOC=∠COA=60°，

∴∠DOB=60°，

∴△BOD為等邊三角形，

圖中陰影部分的面積=扇形DOB的面積﹣△DOB的面積,

=．