Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E為AB邊的中點，以BE為邊作等邊△BDE，連接AD、CD．

（1）求證：AD＝CD；

（2）①畫圖：在AC邊上找一點H，使得BH+EH最小（要求：寫出作圖過程并畫出圖形，不用說明作圖依據）；

②當BC＝2時，求出BH+EH的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①畫圖見解析；②EH+HB的最小值＝2.

【解析】

（1）證明△ABC≌△ABD（SAS），可得AC=AD．
（2）①作點B關于直線AC的對稱點B′，連接EB′交AC于H，點H即為所求；②連接AB′，證明△ABB′是等邊三角形即可解決問題．

（1）證明：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC，∠ABC＝60°

∵AE＝EB，

∴BC＝BE，

∵△BED是等邊三角形，

∴BE＝BD，∠ABD＝60°，

∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD＝60°，BC＝BD，

∴△ABC≌△ABD（SAS），

∴AC＝AD．

（2）①作點B關于直線AC的對稱點B′，連接EB′交AC于H，點H即為所求．

②連接AB′，

∵AC⊥BB′，CB＝CB′，

∴AB＝AB′，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABB′是等邊三角形，

∵AE＝EB，

∴B′E⊥AB，

在Rt△BEB′中，∵BB′＝4，∠EBB′＝60°，

∴EB′＝BB′sin60°＝2，

∴EH+HB的最小值＝EH+HB′＝EB′＝2