Question

鐘面數字問題
如圖，鐘面上有1，2，3，…，11，12這12個數字．
（1）試在某些數的前面添加負號，使它們的代數和為零
（2）能否改變鐘面上的數，比如只剩下6個偶數，仍按第（1）小題的要求來做？
[思路探究]
（1）我們先試著選定任意幾個數字，在其前面添加負號，如
-12-11-10+9+8+7+6-5+4+3+2+1-2．
這當然不是我們要的答案，但我們可以將其調整，比如改變1前面的符號，得
-12-11-10+9+8+7+6-5+4+3+2-1-0．
用這種方法當然可以得到許多答案，但我們并不滿足．我們希望尋找其中的規律，使我們能找到更多的解答．我們發現：
在調整符號的過程中，若將一個正數變號，12個數的代數和就減少這個正數的兩倍；若將一個負數變號，12個數的代數和就增加這個負數的絕對值的兩倍．
要使12個數的代數和為零，其中正數的和的絕對值必須與負數的和的絕對值相等，均為12個數之和的-半，即等于39．
由此，我們只要找到幾個和為39的數，將這些數添上負號即可．
由于最大3個數之和為33＜39，因此必須再添上一個6才有解答，所以添加負號的數至少要有4個．同理可知，添加負號的數最多不超過8個．
根據以上規律，就能在很短的時間內得到許多解答，但是要寫出所有解答，還必須把答案作適當的分類．本題共有124個解答，親愛的讀者，你能寫出這124個解答來嗎？
（2）因為2+4+6+8+10+12-42，它的一半為21，而奇數不可能通過偶數求和得到，所以只剩下6個偶數時，不能按第（1）小題的要求來做．

Answer 1

分析：（1）欲使十二個數的和為零，其中正數的和的絕對值與負數的和的絕對值必須相等，先算出總和，再取總和的一半，在和為一半的數前加正號，其余的數前添負號即可解決問題；
（2）此外我們還可發現，由于最大的三個數12，11，10其和33＜39，因此必須再增加一個數6，才有解答（12，11，10，6），也就是說：添加負號的數至少要有四個；反過來，根據對偶律得：添加負號的數最多不超過八個．掌握了上述幾條規律，我們就能夠在很短的時間內得到許多解答，其總數是124個．

解答：解：（1）-1-2-3-5-4+6-7-8-9+10+11+12=0；
（2）不能．因為2+4+6+8+10+12=42，若要改變這些數前的符號使之代數和為0，則正數、負數之和需為21和-21，易知偶數之和為偶數不為奇數，所以不能改變鐘面上的數…．
由于最大的三個數12，11，10其和33＜39，因此必須再增加一個數6，才有解答（12，11，10，6），也就是說：添加負號的數至少要有四個；反過來，根據對偶律得：添加負號的數最多不超過八個．掌握了上述幾條規律，我們就能夠在很短的時間內得到許多解答，其總數是124個．

點評：本題考查了有理數的加減混合運算．認真審題，找出規律：5個正數絕對值的和等于1，2，3，4，5，…，12這12個數的和的一半，是解決此題的關鍵所在．