Question

（2012•鹽城）如圖所示，AC⊥AB，AB=2

3

，AC=2，點D是以AB為直徑的半圓O上一動點，DE⊥CD交直線AB于點E，設∠DAB=α（0°＜α＜90°）．
（1）當α=18°時，求

BD

的長；
（2）當α=30°時，求線段BE的長；
（3）若要使點E在線段BA的延長線上，則α的取值范圍是

60°＜α＜90°

．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，由圓周角定理，可求得∠DOB的度數，又由⊙O的直徑為2

3

，即可求得其半徑，然后由弧長公式，即可求得答案；
（2）首先證得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得

AC

BE

=

AD

BD

，繼而求得答案；
（3）首先求得A與E重合時α的度數，則可求得點E在線段BA的延長線上時，α的取值范圍．

解答：解：（1）連接OD，
∵α=18°，
∴∠DOB=2α=36°，
∵AB=2

3

，
∴⊙O的半徑為：

3

，
∴

BD

的長為：

36×π× 3

180

=

3

5

π；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵α=30°，
∴∠B=60°，
∵AC⊥AB，DE⊥CD，
∴∠CAB=∠CDE=90°，
∴∠CAD=90°-α=60°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠CDA=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴

AC

BE

=

AD

BD

，
∵AB=2

3

，α=30°，
∴BD=

1

2

AB=

3

，
∴AD=

AB2-BD2

=3，
∴

2

BE

=

3

3

，
∴BE=

2 3

3

；
經檢驗，BE=

2 3

3

是原分式方程的解．

（3）如圖，當E與A重合時，
∵AB是直徑，AD⊥CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴C，D，B共線，
∵AC⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB=2

3

，AC=2，
∴tan∠ABC=

AC

AB

=

3

3

，
∴∠ABC=30°，
∴α=∠DAB=90°-∠ABC=60°，
當E′在BA的延長線上時，如圖，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，
∵0°＜α＜90°，
∴α的取值范圍是：60°＜α＜90°．
故答案為：60°＜α＜90°．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、直角三角形的性質以及弧長公式等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．