Question

【題目】如圖，在中，，是角平分線，平分交于點，經過兩點的交于點，交于點，恰為的直徑．

(1)求證：與相切；

(2)當時，求的半徑．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)．

【解析】

(1)連接OM，證明OM∥BE，再結合等腰三角形的性質說明AE⊥BE，進而證明OM⊥AE；

(2)結合已知求出AB，再證明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性質計算．

(1)連接OM，則OM=OB，

∴∠1=∠2，

∵BM平分∠ABC，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OM∥BC，

∴∠AMO=∠AEB，

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴∠AMO=90°，

∴OM⊥AE，

∵點M在圓O上，

∴AE與⊙O相切；

(2)在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，

∴BE=BC，∠ABC=∠C，

∵BC=4，cosC=

∴BE=2，cos∠ABC=，

在△ABE中，∠AEB=90°，

∴AB==6，

設⊙O的半徑為r，則AO=6-r，

∵OM∥BC，

∴△AOM∽△ABE，

∴∴，

∴，

解得，

∴的半徑為．