Question

【題目】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF。

（1）若E是線段AC的中點，如圖1，易證：BE=EF(不需證明)；

（2）若E是線段AC或AC延長線上的任意一點，其它條件不變， 如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明。

Answer 1

【答案】（2）BE=EF，證明見解析

【解析】解：（2）圖2：BE=EF。圖3。

圖2證明如下：過點E作EG∥BC，交AB于點G，

∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC。

又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形。

∴AB=AC，∠ACB=60°。

又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°。

又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等邊三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。

又∵CF=AE，∴GE=CF。

又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS）。∴BE=EF。

（1）根據菱形的性質結合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形，再根據等腰三角形三線合一的性質可得∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等邊對等角的性質可得∠F=∠CEF，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠F=30°，從而得到∠CBE=∠F，根據等角對等邊的性質即可證明。

（2）圖2，過點E作EG∥BC，交AB于點G，

根據菱形的性質結合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到AG=AE，從而可以求出BG=CE，再根據等角的補角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“邊角邊”證明△BGE和△ECF 全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證。

圖3，證明思路與方法與圖2完全相同， 證明如下：

過點E作EG∥BC交AB延長線于點G，

∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC。

又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形。

∴AB=AC∠ACB=60°。

又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°。

又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等邊三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。

又∵CF=AE，∴GE=CF。

又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴△BGE≌△ECF（SAS）。∴BE=EF。