Question

【題目】如圖，在邊長為的正方形中，點在上從向運動，連接交于點．

（）試證明：無論點運動到上何處時，都有≌．

（）若點從點運動到點，再繼續在上運動到點，在整個運動過程中，當點運動到什么位置時， 恰為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（）證明見解析；（）。

【解析】分析：（1）根據正方形的四條邊都相等可得AD=AB，對角線平分一組對角可得∠DAQ=∠BAQ=45°，然后利用“邊角邊”證明△ADQ和△ABQ全等；（2）分①AQ=DQ時，點B、P重合，②AQ=AD時，根據等邊對等角可得∠ADQ=∠AQD，再求出正方形的對角線AC的長，再求出CQ，然后根根據兩直線平行，內錯角相等求出∠CPQ=∠ADQ，從而得到∠CQP=∠CPQ，根據等角對等邊可得CP=CQ，從而得到點P的位置，③AD=DQ時，點C、P、Q三點重合．

本題解析：

（）如圖，∵在正方形中，無論運動到何處，

都有， ．

∴在和中， ．

∴≌．

（）為等腰三角形．

如圖， 時，此時為正方形．

的中心，此時點與點重合．

②如圖， 時，由等邊對等角得： ．

∴， ．

∴

∵

∵

∴

∴．

③如圖， 時，

此時、、三點重合．

綜上所述：當運動到①點位置②處（上）③點位置時， 為等腰三角形．