Question

如圖，拋物線y=ax² + bx + c 交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。
（1）求拋物線y= ax² + bx + c 的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面積比；
（3）在對稱軸上是否存在一個P點,使△PAC的周長最小。若存在，請你求出點P的坐標；若不存在，請你說明理由。

Answer 1

（1）y=x²-2x-3．（2）1：3；（3）存在，（1，-2）．

試題分析：（1）根據拋物線的對稱軸即可得出點B的坐標，然后將A、B、C三點坐標代入拋物線中即可求得二次函數的解析式．
（2）由于兩三角形等高，那么面積比就等于底邊的比，據此求解即可．
（3）本題的關鍵是確定P點的位置，根據軸對稱圖形的性質和兩點間線段最短，可找出C點關于拋物線對稱軸的對稱點，然后連接此點和A，那么這條直線與拋物線對稱軸的交點就是所求的P點．可先求出這條直線的解析式然后聯立拋物線對稱軸的解析式即可求得P點坐標．
試題解析：：（1）∵A，B兩點關于x=1對稱，
∴B點坐標為（3，0），
根據題意得：
，
解得a=1，b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）△AOC和△BOC的面積分別為S△AOC="1" 2 |OA|•|OC|，S△BOC="1" 2 |OB|•|OC|，
而|OA|=1，|OB|=3，
∴S_△AOC：S_△BOC=|OA|：|OB|=1：3．
（3）存在一個點P．C點關于x=1對稱點坐標C'為（2，-3），
令直線AC'的解析式為y=kx+b
∴，
∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式為y=-x-1．
為x=1時，y=-2，
∴P點坐標為（1，-2）．