Question

如圖，半圓的直徑AB=10，P為圓心，點C在半圓上，BC=6．
（1）求弦AC的長；
（2）若PE⊥AB交AC于點E，求PE的長．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙P的直徑，得到∠ACB=90°，而AB=10，BC=6，再根據勾股定理即可計算出AC；
（2）由PE⊥AB，易證Rt△APE∽Rt△ACB，得到

EP

BC

=

AP

AC

，即

EP

6

=

5

8

，即可得到EP．

解答：解：（1）∵AB是⊙P的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AB²=AC²+BC²，
而AB=10，BC=6，
∴AC=

102-62

=8；

（2）∵PE⊥AB，
∴∠APE=∠C=90°，
而∠A公共，
∴Rt△APE∽Rt△ACB，
∴

EP

BC

=

AP

AC

，即

EP

6

=

5

8

，
∴EP=

15

4

．

點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了圓周角的推論：直徑所對的圓周角為90度以及相似三角形的判定與性質．