Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠A=90°．

（1）請用圓規和直尺作出⊙P，使圓心P在AC邊上，且與AB，BC兩邊都相切（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；

（2）在（1）的條件下，若∠B=45°，AB=1，⊙P切BC于點D，求劣弧的長．

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析；（2）（2）弧AD的長為π.

【解析】分析: （1）作∠ABC的平分線，與AC的交點就是圓心P，此時⊙P與AB，BC兩邊都相切；如圖，作BC的垂線PD，證明PD和半徑相等即可，根據角平分線的性質可得：PA＝PD．

（2）要想求劣弧AD的長，根據弧長公式需求圓心角∠APD的半徑AP的長，利用四邊形的內角和求∠APD＝135°，再利用勾股定理和等腰三角形的性質求出AP＝PD＝DC＝1，代入公式可求弧長．

詳解:

（1）作∠ABC的角平分線交AC于點P，以點P為圓心，AP為半徑作圓.

（2）如圖，∵P與AB，BC兩邊都相切，

∴∠BAP=∠BDP=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠APD=360°90°90°45°=135°，

∴∠DPC=45°，

∴△DPC是等腰直角三角形，

∴DP=DC，

在Rt△ABC中，AB=AC=1，

∴CB=，

∵BP=BP，AP=PD，

∴Rt△ABP≌Rt△DBP，

∴BD=AB=1，

∴CD=PD=AP=1，

∴劣弧AD的長==.

點睛: 本題考查了切線的判定、圓的作圖以及弧長的計算，首先掌握切線的判定方法：①無交點，作垂線段，證半徑；②有交點，作半徑，證垂直；本題利用了第①種判定方法；并熟練掌握弧長計算公式：l＝（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R）．