Question

（2013•咸寧模擬）操作探究題：
（1）在平面直角坐標系x0y中，畫出函數y=-2x²的圖象；
（2）將拋物線y=-2x²怎樣平移，使得平移后的拋物線滿足：①過原點，②拋物線與x正半軸的另一個交點為Q，其頂點為P，且∠OPQ=90°；并寫出拋物線的函數表達式；
（3）在上述直角坐標系中，以O為圓心，OP為半徑畫圓，交x軸于A、B（A點在左邊）兩點，在拋物線（2）上是否存在一點M，使S_△MOA：S_△POB=2：1？若存在，求出M點的坐標；若不存在，說明理由．
（4）在（3）的條件下，是否存這樣的直線過A點且與拋物線只有一個交點？若存在，直接寫出其解析式．若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）取函數圖象上的三個不同點，通過描點、連線進行作圖即可．
（2）由于Q、O關于新拋物線的對稱軸對稱，即點P在線段OQ的垂直平分線上，首先能判斷出的是△OPQ一定是等腰三角形，若∠OPQ=90°，那么該三角形一定是等腰直角三角形，若設P（a、a），那么Q（2a，0），利用待定系數法可確定該函數的解析式，進一步可判斷出平移方案．
（3）首先求出P、A、B的坐標，則△MOA、△POB的面積可知，根據三角形的面積公式即可得到M點的縱坐標，代入（2）的拋物線解析式中，可得到M點的完整坐標（注意M可能在x軸的上方和下方）．
（4）分兩種情況：①過點A且平行于y軸；②設出該直線的解析式，然后聯立直線、拋物線的解析式組成方程，若兩函數只有一個交點，那么方程的根的判別式為0，按此思路解答即可．

解答：解：（1）取（0，0）、（1，-2）、（-1，-2）三點，作圖如下：


（2）由題意知：O、Q關于平移后的拋物線的對稱軸對稱，所以頂點P在OQ的垂直平分線上，即△OPQ是等腰三角形；
若∠OPQ=90°，那么△OPQ是等腰三角形，若設P（a，a），則Q（2a，0）；
設拋物線的解析式為：y=-2（x-a）²+a，由于拋物線經過Q（2a，0），則：
-2a²+a=0，得：a=

1

2

或a=0；
∴拋物線的解析式為：y=-2（x-

1

2

）²+

1

2

；
平移方案：先將拋物線y=-2x²向右平移

1

2

個單位，再向上平移

1

2

個單位．

（3）由題意知：S_△MOA=2S_△POB，且OP=OA=OB；
S_△OPB=

1

2

OB•|y_P|=

1

2

×OB×

1

2

；
S_△MOA=

1

2

OA•|y_M|=

1

2

×OA×|y_M|；
∴|y_M|=2|y_P|=1，即M點縱坐標為：-1（1舍去）．
由（2）得拋物線的解析式為：y=-2x²+2x，當y=-1時：
-2x²+2x=-1，x₁=

1+ 3

2

、x₂=

1- 3

2

；
∴存在符合條件的M點，且坐標為（

1+ 3

2

，-1）（

1- 3

2

，-1）．

（4）由（2）知：P（

1

2

，

1

2

），則OP=OA=

2

2

，A（-

2

2

，0）；
①過點A且與y軸平行的直線：x=-

2

2

；
交（2）的拋物線于點（-

2

2

，-

2

-1）；
②當該直線與y軸不平行時，設直線的解析式為：y=kx+b，由于過點A（-

2

2

，0），則有：
-

2

2

k+b=0，b=

2

2

k；
即：該直線的解析式：y=kx+

2

2

k，聯立拋物線的解析式，得：
kx+

2

2

k=-2x²+2x，化簡得：2x²+（k-2）x+

2

2

k=0
由于兩函數只有一個交點，則：
△=（k-2）²-4×2×

2

2

k=k²-（4+4

2

）k+4=0，
解得：k=2+2

2

±2

2+2 2

∴y=（2+2

2

+2

2+2 2

）x+2+

2

+

2 2 +4

或y=（2+2

2

-2

2+2 2

）x+2+

2

-

2 2 +4

；
綜上，符合條件的直線有三條：x=-

2

2

、y=（2+2

2

+2

2+2 2

）x+2+

2

+

2 2 +4

或y=（2+2

2

-2

2+2 2

）x+2+

2

-

2 2 +4

．

點評：該題的難度不大，主要考查的函數解析式的確定及圖象的畫法、函數圖象的平移、圖形面積的解法、函數圖象交點坐標的求法等基礎知識，（4）題中，與y軸平行的直線容易漏掉，這是該題的一個易錯點．