Question

【題目】已知，□ABCD中∠ABC=90°，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為平行四邊形．

（2）如圖1，求AF的長．

（3）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，點P的速度為每秒1cm，點Q的速度為每秒0.8cm，設運動時間為t秒，若當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AF=5；（3）以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=秒．

【解析】分析：（1）①先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；

②根據勾股定理即可求AF的長；

（2）分情況討論可知，P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可；

詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．

∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC．

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE=OF（AAS）．

∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE為菱形．即四邊形AFCE為平行四邊形．

②設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理，得

16+（8-x）2=x2，

解得：x=5，

∴AF=5．

（2）由作圖可以知道，P點AF上時，Q點CD上，此時A，C，P，Q四點不可能構成平行四邊形；

同理P點AB上時，Q點DE或CE上，也不能構成平行四邊形．

∴只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，

∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，

∴PC=QA，

∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，

∴PC=t，QA=12-0.8t，

∴t=12-0.8t，

解得：t=．

∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=秒．