Question

△ABC內接于⊙O中，AD平分∠BAC交⊙O于D．

（1）如圖1，連接BD，CD，求證：BD=CD
（2）如圖2，若BC是⊙O直徑，AB=8，AC=6，求BD長
（3）如圖，若∠ABC的平分線與AD交于點E，求證：BD=DE

Answer 1

（1）答案見試題解析；（2）；（3）答案見試題解析．

試題分析：（1）由AD平分∠BAC交⊙O于D，可得=，即可證得BD=CD；
（2）由BC是⊙O直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠BAC=∠BDC=90°，然后由勾股定理求得答案；
（3）由∠ABC的平分線與AD交于點E，利用三角形外角的性質與圓周角定理可求得∠BED=∠DBE，繼而可證得BD=DE．
試題解析：（1）證明：∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴=，∴BD=CD；
（2）解：∵BC是⊙O直徑，∴∠BAC=∠BDC=90°，∵AB=8，AC=6，∴BC==10，∵BD=CD，∴BD=；
（3）證明：∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∠ABC的平分線與AD交于點E，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠BED=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠CBD，∵∠CBD=∠2，∴∠BED=∠DBE，∴BD=DE．